Trong bộ môn toán học dành cho các bạn lớp 12, đa số các bạn đã biết đến công thức nguyên hàm. Đây là những khái niệm được đề cập rất nhiều trong các đề thi đại học, vì thế các bạn cần nắm rõ các nguyên tắc để thực hành một cách hiệu quả nhất.
Dưới đây là những kiến thức căn bản, yếu tố không để thiếu đối với các bạn đang trong thời điểm thi đại học. Để hiểu rõ hơn về công thức nguyên hàm trong chương trình toán học, hãy tham khảo các thông tin sau đây để có thêm thật nhiều kiến thức bổ ích nhé.
Chọn Chủ Đề Tìm Kiếm:
Định nghĩa của công thức Nguyên hàm là gì?
Định nghĩa của nguyên hàm:
Trong định nghĩa của công thức nguyên hàm ta cho hàm số của f(x) được xác định trên K (K được biết đến là khoảng, đoạn hoặc nữa khoảng). Hàm số của F(x) sẽ được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) xác định trên K nếu như F'(x) = f(x) với mọi x ∈ K. (Kí hiệu ∫ f(x)dx = F(x) + C).
Theo định lí 1:
- Nếu như F(x) được xem là một nguyên hàm của f(x) trên K thì đối với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng được xem là một nguyên hàm của f(x) xác định trên K.
- Nếu như F(x) được coi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì tất cả nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C của một hằng số.
Vì thế, chúng ta sẽ có F(x) + C; C ∈ R được xem là họ của tết cả những nguyên hàm của f(x) trên K.
Tính chất của nguyên hàm
(∫ f(x)dx)’ = f(x) và ∫ f'(x)dx = f(x) + C.
Nếu như F(x) có đạo hàm thì sẽ có dạng: ∫d(F(x)) = F(x) + C).
∫ kf(x)dx = k∫ f(x)dx với k được xem là hằng số khác với 0.
∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫ f(x)dx ± ∫g(x)dx.
Sự tồn tại của nguyên hàm
Với sự tồn tai của một nguyên hàm thì ta sẽ có định lí như sau: Tất cả hàm số f(x) nối liền liên tục trên K đều xcá định sẽ có nguyên hàm trên K.
Bảng nguyên hàm các hàm số
Cách tìm nguyên hàm bằng các phương pháp
Phương pháp đổi biến
Định nghĩa
Ta cho hàm số là u (x) và có đạo hàm liên tục xác định trên K và hàm số y = f (u) xác định liên tục sao cho f[u(x)] nằm trên K. Do đó, nếu như F là một nguyên hàm của f, tức là: ∫ f(u)du = F(u) + C thì khi đó ta có: ∫ f[u(x)]u'(x)dx = F[u(x)] + C
Phương pháp giải
Đầu tiên: Ta chọn t = φ(x), trong đó φ(x) được xem là hàm số lựa chọn thích hợp nhất.
Thứ hai: Ta tính vi phân hai vế của dt = φ'(t)dt.
Thứ ba: Biểu thị: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.
Thứ tư: Khi đó I = ∫ f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.
Phương pháp nguyên hàm của từng phần
Định lí
Nếu như u(x), v(x) được xem là 2 hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì ta có ∫u(x).v'(x)dx = u(x).v(x) – ∫v(x).u'(x)dx hay ∫udv = uv – ∫vdu (với du = u'(x)dx, dv = v'(x)dx).
Phương pháp chung
Đầu tiên: Các bạn hay biến đổi tích phân ban đầu chuyên sang dạng: I = ∫ f(x)dx = ∫ f1(x).f2(x)dx.
Thứ hai: Sau đó đặt các hãy đặt như sau:
Bước 3: Khi đó các bạn xác định: ∫u.dv = u.v – ∫v.du.
Các dạng thường gặp
Dạng số 1
Dạng số 2
Dạng số 3
Với phương pháp tương tư như sau chúng ta sẽ tính được
Sau đó các bạn hãy thay vào I.
Trên đây là các công thức định nghĩa nguyên hàm và một số phương pháp cơ bản để tìm ra nguyên hàm. Các bạn hãy ghi nhớ các công thức đầy đủ trên đây để có thể áp dụng vào thực hành trong bài tập và kỳ thi sắp tới nhé.
Có thể bạn muốn xem: